Análisis de la segunda derivada 

Las derivadas son herramientas fundamentales en el análisis matemático, ya que permiten estudiar el comportamiento de funciones en términos de tasas de cambio y tendencias. Entre las aplicaciones más relevantes de las derivadas, la segunda derivada juega un papel crucial en la determinación de la concavidad de una función. La concavidad se refiere a la forma en que una función se curva: si es cóncava hacia arriba (convexa) o cóncava hacia abajo. Esto es esencial en la optimización, ya que ayuda a identificar máximos y mínimos locales, así como a entender la naturaleza de las funciones en diferentes intervalos.  

Ejercicio 1: Función Convexa (Cóncava hacia Arriba)

Función: f(x)=x3−3x2+4f(x)=x3−3x2+4

Paso 1: Calcular la primera derivada.f′(x)=3x2−6xf′(x)=3x2−6x

Paso 2: Calcular la segunda derivada.f′′(x)=6x−6f′′(x)=6x−6

Paso 3: Determinar la concavidad.Para encontrar los puntos donde la concavidad puede cambiar, igualamos la segunda derivada a cero:6x−6=0  ⟹  x=16x−6=0⟹x=1

Paso 4: Analizar el signo de la segunda derivada.

• Para x<1x<1 (por ejemplo, x=0x=0):f′′(0)=6(0)−6=−6(coˊncava hacia abajo)f′′(0)=6(0)−6=−6(coˊncava hacia abajo)
• Para x>1x>1 (por ejemplo, x=2x=2):f′′(2)=6(2)−6=6(coˊncava hacia arriba)f′′(2)=6(2)−6=6(coˊncava hacia arriba)

Conclusión: La función f(x)=x3−3x2+4f(x)=x3−3x2+4 es cóncava hacia arriba (convexa) en el intervalo (1,∞)(1,∞). 

Ejercicio 2: Función Cóncava (Cóncava hacia Abajo)

Función:
g(x)=−x3+3x2−4g(x) = -x^3 + 3x^2 - 4g(x)=−x3+3x2−4

Paso 1: Calcular la primera derivada.
g′(x)=−3x2+6xg'(x) = -3x^2 + 6xg′(x)=−3x2+6x

Paso 2: Calcular la segunda derivada.
g′′(x)=−6x+6g''(x) = -6x + 6g′′(x)=−6x+6

Paso 3: Analizar la concavidad.
Para determinar la concavidad, encontramos los puntos donde g′′(x)=0g''(x) = 0g′′(x)=0:
−6x+6=0  ⟹  x=1-6x + 6 = 0 \implies x = 1−6x+6=0⟹x=1

Paso 4: Estudiar el signo de g′′(x)g''(x)g′′(x) en los intervalos.

• Para x<1x < 1x<1 (por ejemplo, x=0x = 0x=0):
  g′′(0)=−6(0)+6=6(positivo)g''(0) = -6(0) + 6 = 6 \quad (\text{positivo})g′′(0)=−6(0)+6=6(positivo)

• Para x>1x > 1x>1 (por ejemplo, x=2x = 2x=2):
  g′′(2)=−6(2)+6=−6(negativo)g''(2) = -6(2) + 6 = -6 ({negativo})g′′(2)=−6(2)+6=−6(negativo)

Conclusión:
La función es cóncava hacia arriba para x<1x < 1x<1 y cóncava hacia abajo para x>1x > 1x>1. Esto indica que la función tiene un punto de inflexión en x=1x = 1x=1, donde cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.